Великая теорема Ферма — математическое приключение поколений

1636 год. Француз и юрист, а также, как было в ту тяжелую пору, прирожденный математик, Пьер Ферма в очередной раз пролистывает "Арифметику" Диофанта Александрийского. На полях этой книги математик зачастую оставлял пометки: то были задачи или мысли, связанные с содержимым; его очередная пометка звучала так:

Лат.: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Перевод: Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

О чем он говорил? Формулировка этой теоремы звучит так: любая сумма двух целых ненулевых чисел в степени натурального числа больше двух никогда не равна целому ненулевому числу в той же степени. Проще выразить это в виде:

$$a^n + b^n \neq c^n$$

где $a, b, c$ — целые числа и $n$ — натуральное число больше двух ( $n \in \mathbb{N}, n>2$ ). Локальным случаем, при котором неравенство выше обращается в уравнение, является теорема Пифагора:

$$a^2+b^2=c^2$$

Вы наверняка помните ее с курса геометрии. В отличие от случая теоремы Ферма, пифагорово уравнение верно для бесконечного набора трех чисел (пифагоровых троек, двух катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника), например: $3^2+4^2=5^2, 5^2+12^2=13^2, 7^2+24^2=25^2$ . Легче представить пифагоровы тройки в виде квадратов, состоящих из ячеек:

А вот как выглядит сумма кубов (так как степени три):

Как видите, сумма кубов дает нам еще один куб с недостающей ячейкой. То есть в данном случае решение имеет вид:

$$6^3+8^3=9^3-1$$

Современная вычислительная техника уже нашла миллионы таких решений, но ни одного для теоремы Ферма.

Попытка решения локальных случаев

Еще в 10 веке алом-Ходжанди была предпринята попытка найти решение тройки чисел вида $a^3+b^3=c^3$ — он таковых найти не сумел, а его опровержение было утеряно. Лишь в 1770 году Леонардом Эйлером был доказан случай с $n = 3$. В 19 веке Эрнст Куммер доказал, что теорема Ферма верна для $n<100$ , за исключением "иррегулярных" 37, 59 и 67.

Тот же Эйлер в 1769 году выдвинул гипотезу, что уравнение вида $a^4+b^4+c^4=d^4$ при a, b, c, d — целых неверно, но в 1988 году она была опровергнута Ноамом Элкисом, который путем компьютерных вычислений обнаружил следующее решение:

$$2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4$$

Оное не является простейшим:

$$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$$

Вот простейшее решение для суммы трех чисел четвертой степени. Числа при возведении получаются невероятные, и тот факт, что решение гипотезы Эйлера было найдено лишь на уровне шестизначных чисел, не давало людям покоя: а вдруг там, в триллионах-триллионах уровней в сотой степени теорема Ферма все-таки становится несправедливой? Даже при учете того, что к концу двадцатого века скорости поиска подобных тождеств достигали тысяч итераций в секунду, мы бы не смогли перебрать бесконечное множество чисел.

В 1908 году немецким предпринимателем и ученым Паулем Вольфскелем было завещано сто тысяч марок человеку, который предъявит полное доказательство теоремы Ферма. За несколько лет набрался с десяток тысяч доказательств, пронизанных ошибками — на сей случай комиссия заготовила бланки содержания:

Уважаемый ..., в Вашем доказательстве на странице ... в строке ... обнаружена ошибка.

Незатейливых гонщиков за богатством и славой, знания которых не позволяли им составить здравое решение задачи, стали называть ферматистами или ферматиками и причина тому ясна как июльское утро — простота формулировки теоремы создавала иллюзорное представление о простом доказательстве. Журнал "Квант" в 1972 году, публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил ее припиской:

Редакция "Кванта" со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться и возвращаться не будут.

Появлялось огромное множество публикаций, темой которых было доказательство теоремы Ферма. Чаще всего они выходили в ненаучных журналах, но иногда работы публиковались и в уважаемых изданиях, если ошибка не находилась сразу. Более того, в одном Советском Союзе вышло три книги, в которых описан неверный ход доказательства.

Парадокс простейшей проблемы сопровождается загадочным решением. Еще больше тайны наводило фантомное доказательство от самого Ферма, который поленился (?) поделиться им (замечу, что сам Ферма был довольно серьезным человеком, и маловероятно, что он бы позволил себе такую шутку). Теорема Ферма в культуре стала символом трудной научной проблемы — такой, о решении которой даже неизвестно. На эту тему даже сняли короткометражный фильм "Математик и черт" (СССР, 1972, Центрнаучфильм, Семен Райтбурт), в котором рассказывается, как математик был готов получить решение теоремы Ферма, отдав черту свою душу. Спустя 24 часа черт, сдается, успев изучить многие аспекты математики и не успев завершить доказательство, и дает ученому и его жене здоровье, счастье и благосостояние.

Самурай, павший за истину

В 1955 году, после длительного застоя в истории с попытками доказать теорему, появляется 28-летний математик Ютака (Тоё) Танияма, который выдвинул свою гипотезу, связывающую эллиптическую кривую и модулярную форму.

Эллиптическая кривая — кубическая кривая, задаваемая уравнением третьей степени, напоминающее обыкновенное квадратное уравнение:

$$y^2=x^3+ax+b$$

Модулярная форма представляет собой функцию комплексной переменной и располагается, в отличие от двумерной эллиптической кривой, в четырехмерном пространстве, отчего ее трудно визуализировать. Тем не менее, математическое описание модулярных форм демонстрирует их предельную симметрию — вращение, переставление отдельных частей и зеркальное отражение никак не сказывается на их внешнем виде.

Так вот Танияма заявил, что "каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма" — проще говоря эти объекты можно разложить в один математический ряд, что математическое сообщество восприняло как абсурдность. В 1955 году на международном математическом симпозиуме в Токио математик показал несколько соответствий эллиптических кривых модулярным формам, что все приняли за совпадения. В 1958 году Ютака Танияма наложил на себя руки, так и не дожив до того дня, когда пошла мода на нахождение совпадений форм и кривых — в 1970-е. Она всегда подтверждалась, но никто не мог доказать это совпадение для всех случаев.

В 1984 году Герхард Фрей заявил:

Если будет доказана гипотеза Таниямы, то будет доказана и Великая теорема Ферма

Фрей свел уравнение Ферма к виду уравнения эллиптической кривой, обосновав то, что ВТФ является следствием гипотезы Таниямы.

Экстраординарное доказательство простого утверждения

23 июня 1993 года. Эндрю Уайлс, профессор математики из Принстноского университета в Нью-Джерси презентует свое доказательство гипотезы Таниямы, работу над которой он вел несколько лет втайне ото всех, кроме своей жены. Во время выступления даже самые умные дядьки, слушая Уайлса, сидели с видом детей. Кстати, говоря о детях, стоит упомянуть, что сам Эндрю, еще будучи 10-летним мальчишкой, ознакомился с теоремой и всю следующую жизнь стал одержим идеей найти решение. Пресса взрывалась от заголовков, от картины, показавшейся публике самодостаточной и прекрасной. Но вдруг обнаруживается ошибка. Одна единственная, которая чуть не заставила математика опустить руки и признать себя фермистом. Год работы, и переработка доказательства позволили решить Великую теорему Ферма и гипотезу Таниямы. Проверка шла еще один год, и на сей раз картину признали действительно произведением искусства — летом 1995 году в "Анналах математики" вышла работа Уайлса, которая заняла весь номер (более 100 страниц, ссылка на работу в конце статьи).

Зачем

Счастливый Уайлс после доказательства теоремы

Дэвиду Гилберту однажды задали вопрос: "Какая задача для науки сейчас наиболее важна?" — на что тот ответил: "Поймать муху на обратной стороне Луны. Это никому не надо, но лишь представьте, сколько важных задач надо решить, чтобы это осуществить". Ферма дал почву для построения будущих теорий — и таких примеров в истории других наук имеется куча. Особенно сегодня люди любят раскидываться разными утверждениями, о которых сами ничего не смыслят. Я не призываю заучивать доказательство теоремы Ферма, но неплохо было бы, если бы после прочтения этой статьи у читателя возникла мысль о том, сколько псевдоаксиом в жизни существует и какие действия нужно совершить для их доказательства.

Что же насчет Пьера Ферма? Тут несколько версий: а) он действительно обнаружил доказательство, которое в силу времени, не могло содержать в себе гипотезу Таниямы, теорему Эйлера и очерки более поздней математики, то есть оно должно быть совершенно иное, что маловероятно при всем уважении к Ферма; б) Ферма — шутник, который не знал, какие масштабы обретет его пометка о теореме, доказательство которого он не имел; в) Ферма действительно предпринял попытку доказать свою теорему, но допустил ошибку, не заметив этого. Получается, если верен пункт (в), то Ферма — Фермист...

Статья создана по материалам книги Саймонда Сингха "Великая теорема Ферма", а также лекциям уважаемого д-р физ.-мат. наук Алексея Владимировича Савватеева.

Также советую обратить внимание на самого Ютаку Танияму и его жизнь, описанную его другом, Горо Шимурой: ссылка, биографию Эндрю Уайлса: ссылка, и его доказательство теоремы Ферма: ссылка.